QuestionsPeut-on être certain de quelque chose ?Une perception des objets mathématiques : l'intuition de Gödel
Peut-on être certain de quelque chose ?Oui, par la raison

Une perception des objets mathématiques : l'intuition de Gödel

L'intuition mathématique ; le platonisme de Gödel

Kurt Gödel 1906 · 1978Logicien, il a donné une version formelle de la preuve ontologique.
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Ce qu'il soutient

Certaines vérités mathématiques sont connues avec certitude, par la raison, grâce à une intuition qui est comme une perception des objets mathématiques.

Pourquoi

Les axiomes des ensembles s'imposent à nous comme vrais, comme une perception : pas de raison de s'y fier moins qu'aux sens.

La même idée à travers l'histoire
Platon380 av. J.-C.L'idée que les objets mathématiques existent en dehors de nous et que l'esprit peut les saisir remonte à Platon. Gödel en donne une version moderne, liée à la théorie des ensembles.
Kurt Gödel1964Gödel ajoute le passage célèbre sur la « perception » des ensembles dans la version remaniée de 1964 de son article sur le problème du continu de Cantor.
En bref

« Une perception des objets mathématiques : l'intuition de Gödel » est un argument de Kurt Gödel (« What is Cantor's Continuum Problem? » (1947, version remaniée 1964), 1964) sur la question « Peut-on être certain de quelque chose ? » (réponse : oui, par la raison). Sa thèse : Certaines vérités mathématiques sont connues avec certitude, par la raison, grâce à une intuition qui est comme une perception des objets mathématiques. Selon la vérification logique d'AskPhilosophy (solveur Z3), l'argument est valide à condition d'admettre une prémisse que l'auteur ne formule pas (P4). AskPhilosophy présente 3 objections, dont 1 avec une réponse documentée, et le texte original de chaque prémisse, vérifié mot pour mot.

« What is Cantor's Continuum Problem? » (1947, version remaniée 1964)
Valide avec une prémisse implicite

Comment sait-on que 2 + 2 = 4, ou qu'un ensemble infini est plus grand qu'un autre ? On ne voit ni ne touche les nombres. Gödel, l'un des plus grands logiciens du XXe siècle, soutient que nous avons pourtant une sorte de perception des objets mathématiques : quand on réfléchit aux notions d'ensemble ou de nombre, certains axiomes s'imposent comme vrais, comme une table s'impose à la vue. Cette « intuition mathématique » n'est pas moins digne de confiance que la perception des sens, qui nous fait bâtir les théories physiques. La raison peut donc atteindre des vérités mathématiques objectives. Gödel ne la dit pas infaillible : comme la perception, elle se corrige, et un nouvel axiome peut aussi se justifier par ses conséquences fécondes.

P1Malgré leur éloignement de l'expérience sensible, nous avons « quelque chose comme une perception » des objets de la théorie des ensembles.
P2On le voit au fait que les axiomes s'imposent à nous comme vrais.
P3Il n'y a pas de raison d'avoir moins confiance en cette perception, l'intuition mathématique, qu'en la perception sensible, qui nous pousse à bâtir des théories physiques.
P4 · prémisse impliciteCe qui s'impose à nous comme vrai par une perception aussi fiable que celle des sens est connu avec certitude.
Donc certaines vérités mathématiques sont connues avec certitude, par la raison, grâce à une intuition qui est comme une perception des objets mathématiques.

clique sur une prémisse pour la rejeter

Si tu acceptes toutes les prémisses, la logique t'oblige à accepter la conclusion. Le débat porte donc sur les prémisses.
Vérifié par un solveur logique : impossible que toutes les prémisses soient vraies et la conclusion fausse.
Valide avec P4. P1 à P3 posent une analogie entre intuition mathématique et perception. P4, cachée, fait de cette analogie une certitude. C'est le point faible : la perception sensible nous trompe parfois (illusions), et les intuitions mathématiques aussi (le paradoxe de Russell est né d'un axiome qui paraissait évident). L'argument établit donc surtout une confiance raisonnable ; il est classé dans le camp « certitude » parce que Gödel soutient que ces vérités sont connues par la raison, non par convention ou par l'expérience sensible.
Analogie. Un mathématicien devant un axiome est comme un randonneur devant un paysage : il ne l'invente pas, il le découvre. S'il se trompe sur un détail à distance, cela n'empêche pas qu'il y ait un paysage.

Objections

3

Chaque objection est une conversation : clique pour voir qui répond, et où en est le débat.

P
Paul Benacerraf 1973 · attaque la prémisse 1

Dans « Mathematical Truth », Benacerraf pose le problème de l'accès : si les objets mathématiques existent hors de l'espace et du temps, ils n'ont pas d'effet causal sur nous. Comment pourrait-on les percevoir ? Une perception exige une relation causale avec son objet ; l'intuition de Gödel ne dit pas laquelle.

sans réponse
Nous n'avons pas encore relevé de réponse directe de Gödel dans ses textes.
Le débat continue (notre résumé) Gödel ne propose pas d'explication causale dans ce passage. Un défenseur ajouterait (reconstruction nôtre) que la perception des objets mathématiques n'est pas plus étrange que celle des objets physiques, dont la perception suppose déjà des concepts que les sens ne donnent pas (notre lecture). Le problème posé par Benacerraf reste, pour beaucoup de philosophes, sans réponse acceptée.
Où en est le débat (notre résumé)Benacerraf : sans lien causal, pas de perception. Gödel : l'intuition n'est pas moins sûre que les sens. Désaccord de fond : la connaissance exige-t-elle un lien causal avec son objet ?
Bertrand Russell 1902 · attaque la prémisse 4

Le paradoxe de Russell montre qu'un axiome qui s'impose comme évident (tout prédicat définit un ensemble) peut être contradictoire. Si les intuitions sur les ensembles s'imposent mais conduisent à la contradiction, elles ne garantissent pas la vérité.

un défenseur répond
Kurt Gödel défenseur de l'argument · 1964
Gödel répond dans le même texte que les paradoxes de la théorie des ensembles ne gênent guère plus les mathématiques que les illusions des sens ne gênent la physique. Le paradoxe frappait une notion naïve de l'ensemble ; la notion itérative (les ensembles construits par étapes), elle, ne mène à aucune contradiction connue. Les critiques répondent que c'est admettre que l'intuition ne donne pas la certitude d'emblée.
Où en est le débat (notre résumé)Russell : une intuition évidente peut mener à la contradiction. Gödel : on la corrige par une meilleure intuition. Désaccord de fond : une source qui se trompe peut-elle fonder la certitude ?
P
Penelope Maddy 1990 · attaque la prémisse 3

Maddy a défendu dans Realism in Mathematics (1990) une version naturalisée de l'intuition : on percevrait des ensembles d'objets physiques (trois œufs dans une boîte), et l'intuition des ensembles s'expliquerait par le cerveau, non par une faculté spéciale. Dans Naturalism in Mathematics (1997), elle abandonne ce réalisme : ce sont les buts et la pratique des mathématiciens, et non une intuition, qui justifient les axiomes.

sans réponse
Pas de réponse possible : objection formulée en 1990, après sa mort (1978).
Où en est le débat (notre résumé)Maddy : l'intuition de Gödel est à remplacer par une base naturelle, puis par la pratique. Désaccord de fond : qu'est-ce qui justifie un axiome, une perception ou son utilité ?