Eine Wahrnehmung mathematischer Gegenstände: Gödels Intuition

Mathematische Intuition; Gödels Platonismus

Kurt Gödel 1906 · 1978Ein Logiker, der eine formale Fassung des ontologischen Gottesbeweises gegeben hat.

Was es behauptet

Also werden manche mathematischen Wahrheiten mit Gewissheit erkannt, durch die Vernunft, mittels einer Intuition, die einer Wahrnehmung mathematischer Gegenstände gleicht.

Warum

Die Axiome der Mengenlehre drängen sich uns als wahr auf, wie eine Wahrnehmung: Es gibt keinen Grund, ihr weniger zu vertrauen als den Sinnen.

Dieselbe Idee im Lauf der Geschichte

Platon380 v. Chr.Die Idee, dass mathematische Gegenstände außerhalb von uns existieren und der Geist sie erfassen kann, geht auf Platon zurück. Gödel gibt ihr eine moderne, an die Mengenlehre gebundene Fassung.

Kurt Gödel1964Gödel fügt die berühmte Passage über die „Wahrnehmung“ von Mengen in der überarbeiteten Fassung von 1964 seines Aufsatzes über Cantors Kontinuumproblem hinzu.

Kurz gesagt

„Eine Wahrnehmung mathematischer Gegenstände: Gödels Intuition“ ist ein Argument von Kurt Gödel („What is Cantor's Continuum Problem?“ (1947, überarbeitete Fassung 1964), 1964) zur Frage „Kann man sich einer Sache sicher sein?“ (Antwort: ja, durch die vernunft). Seine These: Also werden manche mathematischen Wahrheiten mit Gewissheit erkannt, durch die Vernunft, mittels einer Intuition, die einer Wahrnehmung mathematischer Gegenstände gleicht. Laut der Logikprüfung von AskPhilosophy (Z3-Solver) ist das Argument nur gültig, wenn man eine Prämisse zugesteht, die der Autor nicht ausdrücklich formuliert (P4). AskPhilosophy präsentiert 3 Einwände, davon 1 mit einer dokumentierten Erwiderung, sowie den Originaltext hinter jeder Prämisse, Wort für Wort geprüft.

„What is Cantor's Continuum Problem?“ (1947, überarbeitete Fassung 1964)

Gültig mit impliziter Prämisse

Woher wissen wir, dass 2 + 2 = 4 ist oder dass eine unendliche Menge größer ist als eine andere? Zahlen sehen oder berühren wir nicht. Gödel, einer der größten Logiker des 20. Jahrhunderts, vertritt die Auffassung, dass wir dennoch eine Art Wahrnehmung mathematischer Gegenstände haben: Wenn wir über die Begriffe der Menge oder der Zahl nachdenken, drängen sich bestimmte Axiome als wahr auf, so wie sich ein Tisch dem Blick aufdrängt. Diese „mathematische Intuition“ ist nicht weniger vertrauenswürdig als die Sinneswahrnehmung, die uns dazu bringt, physikalische Theorien aufzubauen. Die Vernunft kann also objektive mathematische Wahrheiten erreichen. Gödel nennt sie nicht unfehlbar: Wie die Wahrnehmung korrigiert sie sich selbst, und ein neues Axiom kann auch durch seine fruchtbaren Folgen gerechtfertigt werden.

klicke auf eine Prämisse, um sie zurückzuweisen

Wenn du alle Prämissen akzeptierst, zwingt dich die Logik dazu, auch die Konklusion zu akzeptieren. Die Debatte dreht sich also um die Prämissen.

Von einem Logik-Solver geprüft: Es ist unmöglich, dass alle Prämissen wahr und die Konklusion falsch sind.

Gültig mit P4. P1 bis P3 stellen eine Analogie zwischen mathematischer Intuition und Wahrnehmung her. P4, versteckt, macht aus dieser Analogie eine Gewissheit. Das ist die Schwachstelle: Die Sinneswahrnehmung täuscht uns manchmal (Illusionen), und die mathematischen Intuitionen ebenso (Russells Paradox entstand aus einem Axiom, das evident schien). Das Argument begründet also vor allem ein vernünftiges Vertrauen; es wird unter „Gewissheit“ eingeordnet, weil Gödel meint, dass diese Wahrheiten durch Vernunft erkannt werden, nicht durch Konvention oder Sinneserfahrung.

Analogie. Ein Mathematiker vor einem Axiom ist wie ein Wanderer vor einer Landschaft: Er erfindet sie nicht, er entdeckt sie. Wenn er sich bei einem fernen Detail irrt, heißt das nicht, dass es keine Landschaft gibt.

Einwände

Jeder Einwand ist ein Gespräch: Klicke, um zu sehen, wer erwidert und wo die Debatte steht.

Paul Benacerraf 1973 · greift Prämisse 1 an

In „Mathematical Truth“ wirft Benacerraf das Zugangsproblem auf: Wenn mathematische Gegenstände außerhalb von Raum und Zeit existieren, haben sie keine kausale Wirkung auf uns. Wie könnten wir sie wahrnehmen? Eine Wahrnehmung erfordert eine kausale Beziehung zu ihrem Gegenstand; Gödels Intuition sagt nicht, welche.

ohne Erwiderung

Wir haben in den Texten von Gödel noch keine direkte Antwort gefunden.

Die Debatte geht weiter (unsere Zusammenfassung) Gödel bietet in dieser Passage keine kausale Erklärung an. Ein Verteidiger würde hinzufügen (unsere Rekonstruktion), dass die Wahrnehmung mathematischer Gegenstände nicht seltsamer ist als die physikalischer Gegenstände, deren Wahrnehmung bereits Begriffe voraussetzt, welche die Sinne nicht liefern (unsere Lesart). Das von Benacerraf aufgeworfene Problem bleibt für viele Philosophen ohne anerkannte Antwort.

Wo die Debatte steht (unsere Zusammenfassung)Benacerraf: Ohne kausale Verbindung keine Wahrnehmung. Gödel: Die Intuition ist nicht weniger verlässlich als die Sinne. Grundlegender Dissens: Erfordert Erkenntnis eine kausale Verbindung zu ihrem Gegenstand?

Bertrand Russell 1902 · greift Prämisse 4 an

Russells Paradox zeigt, dass ein Axiom, das sich als evident aufdrängt (jedes Prädikat definiert eine Menge), widersprüchlich sein kann. Wenn sich Intuitionen über Mengen aufdrängen, aber zum Widerspruch führen, garantieren sie keine Wahrheit.

ein Verteidiger erwidert

Kurt Gödel Verteidiger des Arguments · 1964

Gödel antwortet im selben Text, dass die Paradoxien der Mengenlehre die Mathematik kaum mehr stören als Sinnestäuschungen die Physik. Das Paradox traf einen naiven Mengenbegriff; der iterative Begriff (in Stufen aufgebaute Mengen) führt zu keinem bekannten Widerspruch. Die Kritiker entgegnen, dies hieße zuzugeben, dass die Intuition nicht sogleich Gewissheit liefert.

Wo die Debatte steht (unsere Zusammenfassung)Russell: Eine evidente Intuition kann zum Widerspruch führen. Gödel: Sie wird durch eine bessere Intuition korrigiert. Grundlegende Meinungsverschiedenheit: Kann eine Quelle, die irrt, Gewissheit begründen?

Penelope Maddy 1990 · greift Prämisse 3 an

Maddy verteidigte in Realism in Mathematics (1990) eine naturalisierte Version der Intuition: Wir nähmen Mengen physischer Objekte wahr (drei Eier in einem Karton), und die Intuition von Mengen werde durch das Gehirn erklärt, nicht durch ein besonderes Vermögen. In Naturalism in Mathematics (1997) gibt sie diesen Realismus auf: Die Ziele und die Praxis der Mathematiker, nicht eine Intuition, rechtfertigen die Axiome.

ohne Erwiderung

Keine Antwort möglich: Der Einwand wurde 1990 erhoben, nach dem Tod des Autors (1978).

Wo die Debatte steht (unsere Zusammenfassung)Maddy: Gödels Intuition ist durch eine natürliche Grundlage und dann durch die Praxis zu ersetzen. Grundlegende Meinungsverschiedenheit: Was rechtfertigt ein Axiom, eine Wahrnehmung oder sein Nutzen?