数学的対象の知覚――ゲーデルの直観

数学的直観――ゲーデルのプラトニズム

Kurt Gödel 1906 · 1978論理学者。存在論的証明の形式的なバージョンを与えた。

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その主張：

それゆえ、いくつかの数学的真理は、数学的対象の知覚のような直観を通じて、理性によって確実に知られている。

なぜか

集合論の公理は、知覚のように、真なるものとして私たちに迫ってくる。それを感覚以上に疑う理由はない。

歴史を貫く同じ発想

プラトン紀元前380年数学的対象は私たちの外に存在し、精神はそれを捉えることができるという考えは、プラトンにまで遡る。ゲーデルはこれに、集合論と結びついた現代的な形を与えている。

Kurt Gödel1964ゲーデルは、カントールの連続体問題に関する論文の1964年改訂版で、集合の「知覚」についての有名な一節を付け加えた。

要点

「数学的対象の知覚――ゲーデルの直観」は、問い「私たちは何かについて確実であることができるのか？」（答え：できる、理性によって）に関するKurt Gödelの論証です（「カントールの連続体問題とは何か」（1947年、1964年改訂版）, 1964）。その主張は次のとおりです：それゆえ、いくつかの数学的真理は、数学的対象の知覚のような直観を通じて、理性によって確実に知られている。。 AskPhilosophyの論理チェック（Z3ソルバー）によれば、この論証が妥当であるのは、著者が明示していない前提（P4）を認める場合に限られます。 AskPhilosophyでは、3件の反論を紹介しています。そのうち1件には文献に基づく応答があり、各前提の元になった原文も一字一句照合して確認しています。

「カントールの連続体問題とは何か」（1947年、1964年改訂版）

暗黙の前提を補えば妥当

2 + 2 = 4 であること、あるいは一つの無限集合が別の無限集合より大きいことを、私たちはどのようにして知るのか。数を見ることも触れることもできない。20世紀最大の論理学者の一人であるゲーデルは、それでも私たちには数学的対象への一種の知覚があると主張する。集合や数の概念について考えるとき、いくつかの公理が、机が視覚に迫ってくるように、真なるものとして私たちに迫ってくるのである。この「数学的直観」は、私たちに物理理論を構築させる感覚的知覚に劣らず信頼に値する。したがって理性は、客観的な数学的真理に到達しうる。ゲーデルはそれを無謬だとは言わない。知覚と同じく、それは自らを修正するし、新しい公理がその実り豊かな帰結によって正当化されることもありうる。

前提をクリックすると、それを退けられます

すべての前提を受け入れるなら、論理によって結論も受け入れざるをえません。したがって、議論は前提をめぐるものになります。

論理ソルバーで検証済み：すべての前提が真で結論が偽であることはありえません。

P4を加えれば妥当。P1からP3は、数学的直観と知覚の類比を立てている。隠れた前提であるP4が、この類比を確実性へと変える。ここが弱点である。感覚的知覚は時に私たちを欺き（錯覚）、数学的直観もまた同様である（ラッセルのパラドックスは、自明に思われた公理から生まれた）。したがってこの議論が示すのは、主として合理的な信頼にとどまる。それでも「確実性」の側に分類されているのは、ゲーデルがこれらの真理は約束事や感覚経験ではなく理性によって知られると主張しているからである。

類推. 公理を前にした数学者は、風景を前にした登山者のようなものだ。彼はそれを発明するのではなく、発見する。遠くの細部について誤ったとしても、風景が存在しないことにはならない。

反論

それぞれの反論は一つの対話です。クリックすると、誰が応答しているか、そして議論が今どこにあるかが分かります。

ポ

ポール・ベナセラフ 1973 · 前提1を攻撃

ベナセラフは「数学的真理」で、アクセスの問題を提起する。数学的対象が空間と時間の外に存在するなら、それは私たちに因果的な作用を及ぼさない。ではどうやってそれを知覚できるのか。知覚はその対象との因果関係を必要とするが、ゲーデルの直観はそれがどのようなものかを述べていない。

応答なし

Gödelの著作の中に、直接の応答はまだ見つかっていません。

議論は続く（当サイトによる要約） ゲーデルはこの一節で因果的な説明を提示していない。擁護者なら（当サイトによる再構成）、数学的対象の知覚は物理的対象の知覚より奇妙というわけではなく、後者の知覚もすでに感覚が与えない概念を前提している、と付け加えるだろう（当サイトの解釈）。ベナセラフの提起した問題は、多くの哲学者にとって、受け入れられた答えがないままである。

議論の現状（当サイトによる要約）ベナセラフ：因果的なつながりがなければ、知覚はない。ゲーデル：直観は感覚に劣らず確かである。根本的な対立点：知識は、その対象との因果的なつながりを必要とするのか。

バートランド・ラッセル 1902 · 前提4を攻撃

ラッセルのパラドックスは、自明なものとして迫ってくる公理（すべての述語は集合を定義する）が矛盾しうることを示している。集合についての直観が迫ってくるのに矛盾に至るのであれば、それらは真理を保証しない。

擁護者の応答

ク

クルト・ゲーデル論証の擁護者 · 1964

ゲーデルは同じテキストで、集合論のパラドックスが数学を悩ませることは、感覚の錯覚が物理学を悩ませることとほとんど変わらない、と答えている。パラドックスが打撃を与えたのは素朴な集合概念であり、反復的概念（段階的に構成される集合）は、知られている限りいかなる矛盾にも至らない。批判者たちは、それは直観が最初から確実性を与えるわけではないと認めることだ、と応じる。

議論の現状（当サイトによる要約）ラッセル：明証的に思われる直観も矛盾に至りうる。ゲーデル：それはより優れた直観によって是正される。根本的な対立点：誤りうる源泉は確実性の基礎となりうるか。

ペ

ペネロピ・マディ 1990 · 前提3を攻撃

マディは『数学における実在論』（Realism in Mathematics, 1990）で、直観の自然主義化された見解を擁護した。すなわち、私たちは物理的対象の集合（箱に入った三つの卵）を知覚するのであり、集合の直観は特別な能力ではなく脳によって説明される、というものである。『数学における自然主義』（Naturalism in Mathematics, 1997）では、彼女はこの実在論を放棄する。公理を正当化するのは直観ではなく、数学者の目的と実践である。

応答なし

応答はありえません：この反論は、著者の死後（1978）の1990年に提起されました。

議論の現状（当サイトによる要約）マディ：ゲーデルの直観は、自然的な基盤に、さらには実践に置き換えられるべきである。根本的な対立点：公理を正当化するのは何か、知覚か、それともその有用性か。