Una percepción de los objetos matemáticos: la intuición de Gödel
La intuición matemática; el platonismo de Gödel
Por lo tanto, algunas verdades matemáticas se conocen con certeza, por la razón, gracias a una intuición que es como una percepción de los objetos matemáticos.
Los axiomas de la teoría de conjuntos se nos imponen como verdaderos, como una percepción: no hay razón para fiarse de ella menos que de los sentidos.
«Una percepción de los objetos matemáticos: la intuición de Gödel» es un argumento de Kurt Gödel («What is Cantor's Continuum Problem?» (1947, versión revisada de 1964), 1964) sobre la pregunta «¿Se puede estar seguro de algo?» (respuesta: sí, por la razón). Su tesis: Por lo tanto, algunas verdades matemáticas se conocen con certeza, por la razón, gracias a una intuición que es como una percepción de los objetos matemáticos. Según la verificación lógica de AskPhilosophy (solucionador Z3), el argumento es válido solo si se admite una premisa que el autor no formula (P4). AskPhilosophy presenta 3 objeciones, 1 de ellas con una réplica documentada, y el texto original de cada premisa, verificado palabra por palabra.
¿Cómo sabemos que 2 + 2 = 4, o que un conjunto infinito es mayor que otro? No vemos ni tocamos los números. Gödel, uno de los mayores lógicos del siglo XX, sostiene que, sin embargo, tenemos una especie de percepción de los objetos matemáticos: cuando reflexionamos sobre las nociones de conjunto o de número, ciertos axiomas se nos imponen como verdaderos, como una mesa se impone a la vista. Esta «intuición matemática» no es menos digna de confianza que la percepción sensible, que nos lleva a construir las teorías físicas. La razón puede, pues, alcanzar verdades matemáticas objetivas. Gödel no la considera infalible: como la percepción, se corrige a sí misma, y un nuevo axioma también puede justificarse por sus consecuencias fecundas.
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Objeciones
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PPaul Benacerraf 1973 · ataca la premisa 1En «Mathematical Truth», Benacerraf plantea el problema del acceso: si los objetos matemáticos existen fuera del espacio y del tiempo, no tienen efecto causal sobre nosotros. ¿Cómo podríamos percibirlos? Una percepción exige una relación causal con su objeto; la intuición de Gödel no dice cuál.
sin respuesta
En «Mathematical Truth», Benacerraf plantea el problema del acceso: si los objetos matemáticos existen fuera del espacio y del tiempo, no tienen efecto causal sobre nosotros. ¿Cómo podríamos percibirlos? Una percepción exige una relación causal con su objeto; la intuición de Gödel no dice cuál.
Bertrand Russell 1902 · ataca la premisa 4La paradoja de Russell muestra que un axioma que se impone como evidente (todo predicado define un conjunto) puede ser contradictorio. Si las intuiciones sobre los conjuntos se imponen pero conducen a la contradicción, no garantizan la verdad.
un defensor responde
La paradoja de Russell muestra que un axioma que se impone como evidente (todo predicado define un conjunto) puede ser contradictorio. Si las intuiciones sobre los conjuntos se imponen pero conducen a la contradicción, no garantizan la verdad.
PPenelope Maddy 1990 · ataca la premisa 3En Realism in Mathematics (1990), Maddy defendió una versión naturalizada de la intuición: percibiríamos conjuntos de objetos físicos (tres huevos en una caja), y la intuición de los conjuntos se explicaría por el cerebro, no por una facultad especial. En Naturalism in Mathematics (1997) abandona este realismo: lo que justifica los axiomas son los fines y la práctica de los matemáticos, y no una intuición.
sin respuesta
En Realism in Mathematics (1990), Maddy defendió una versión naturalizada de la intuición: percibiríamos conjuntos de objetos físicos (tres huevos en una caja), y la intuición de los conjuntos se explicaría por el cerebro, no por una facultad especial. En Naturalism in Mathematics (1997) abandona este realismo: lo que justifica los axiomas son los fines y la práctica de los matemáticos, y no una intuición.