DomandeSi può essere certi di qualcosa?Una percezione degli oggetti matematici: l'intuizione di Gödel
Si può essere certi di qualcosa?Sì, attraverso la ragione

Una percezione degli oggetti matematici: l'intuizione di Gödel

L'intuizione matematica; il platonismo di Gödel

Kurt Gödel 1906 · 1978Logico, diede una versione formale della prova ontologica.
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Che cosa sostiene

Dunque alcune verità matematiche sono conosciute con certezza, mediante la ragione, grazie a un'intuizione che è come una percezione degli oggetti matematici.

Perché

Gli assiomi della teoria degli insiemi si impongono a noi come veri, come una percezione: non c'è ragione di fidarsene meno che dei sensi.

La stessa idea attraverso la storia
Platone380 a.C.L'idea che gli oggetti matematici esistano al di fuori di noi e che la mente possa coglierli risale a Platone. Gödel ne offre una versione moderna, legata alla teoria degli insiemi.
Kurt Gödel1964Gödel aggiunge il celebre passo sulla «percezione» degli insiemi nella versione rielaborata del 1964 del suo articolo sul problema del continuo di Cantor.
In breve

«Una percezione degli oggetti matematici: l'intuizione di Gödel» è un argomento di Kurt Gödel («What is Cantor's Continuum Problem?» (1947, versione rielaborata 1964), 1964) sulla domanda «Si può essere certi di qualcosa?» (risposta: sì, attraverso la ragione). La sua tesi: Dunque alcune verità matematiche sono conosciute con certezza, mediante la ragione, grazie a un'intuizione che è come una percezione degli oggetti matematici. Secondo la verifica logica di AskPhilosophy (solutore Z3), l'argomento è valido solo se si ammette una premessa che l'autore non formula (P4). AskPhilosophy presenta 3 obiezioni, 1 delle quali con una risposta documentata, e il testo originale di ciascuna premessa, verificato parola per parola.

«What is Cantor's Continuum Problem?» (1947, versione rielaborata 1964)
Valido con una premessa implicita

Come sappiamo che 2 + 2 = 4, o che un insieme infinito è più grande di un altro? Non vediamo né tocchiamo i numeri. Gödel, uno dei più grandi logici del XX secolo, sostiene che abbiamo tuttavia una sorta di percezione degli oggetti matematici: quando riflettiamo sulle nozioni di insieme o di numero, certi assiomi si impongono come veri, come un tavolo si impone alla vista. Questa «intuizione matematica» non è meno degna di fiducia della percezione sensibile, che ci porta a costruire le teorie fisiche. La ragione può dunque raggiungere verità matematiche oggettive. Gödel non la dice infallibile: come la percezione, si corregge, e un nuovo assioma può anche essere giustificato dalle sue conseguenze feconde.

P1Nonostante la loro lontananza dall'esperienza sensibile, abbiamo «qualcosa come una percezione» degli oggetti della teoria degli insiemi.
P2Lo si vede dal fatto che gli assiomi si impongono a noi come veri.
P3Non c'è ragione di avere meno fiducia in questa percezione, l'intuizione matematica, che nella percezione sensibile, che ci induce a costruire teorie fisiche.
P4 · premessa implicitaCiò che si impone a noi come vero attraverso una percezione affidabile quanto i sensi è conosciuto con certezza.
Dunque alcune verità matematiche sono conosciute con certezza, mediante la ragione, grazie a un'intuizione che è come una percezione degli oggetti matematici.

clicca su una premessa per rifiutarla

Se accetti tutte le premesse, la logica ti obbliga ad accettare la conclusione. Il dibattito riguarda dunque le premesse.
Verificato da un solutore logico: è impossibile che tutte le premesse siano vere e la conclusione falsa.
Valido con P4. P1–P3 stabiliscono un'analogia tra intuizione matematica e percezione. P4, nascosta, trasforma questa analogia in certezza. È il punto debole: la percezione sensibile a volte ci inganna (illusioni), e così anche le intuizioni matematiche (il paradosso di Russell è nato da un assioma che sembrava evidente). L'argomento stabilisce quindi soprattutto una fiducia ragionevole; è classificato sotto «certezza» perché Gödel sostiene che queste verità sono conosciute dalla ragione, non per convenzione né per esperienza sensibile.
Analogia. Un matematico davanti a un assioma è come un escursionista davanti a un paesaggio: non lo inventa, lo scopre. Se si sbaglia su un dettaglio lontano, ciò non significa che il paesaggio non esista.

Obiezioni

3

Ogni obiezione è una conversazione: clicca per vedere chi risponde e a che punto è il dibattito.

P
Paul Benacerraf 1973 · attacca la premessa 1

In «Mathematical Truth», Benacerraf pone il problema dell'accesso: se gli oggetti matematici esistono al di fuori dello spazio e del tempo, non hanno alcun effetto causale su di noi. Come potremmo percepirli? Una percezione richiede una relazione causale con il suo oggetto; l'intuizione di Gödel non dice quale.

senza risposta
Non abbiamo ancora individuato una risposta diretta di Gödel nei suoi testi.
Il dibattito continua (nostra sintesi) Gödel non propone una spiegazione causale in questo passo. Un difensore aggiungerebbe (nostra ricostruzione) che la percezione degli oggetti matematici non è più strana di quella degli oggetti fisici, la cui percezione presuppone già concetti che i sensi non forniscono (nostra lettura). Il problema posto da Benacerraf resta, per molti filosofi, senza una risposta accettata.
A che punto è il dibattito (nostra sintesi)Benacerraf: senza legame causale, nessuna percezione. Gödel: l'intuizione non è meno affidabile dei sensi. Disaccordo di fondo: la conoscenza richiede un legame causale con il proprio oggetto?
Bertrand Russell 1902 · attacca la premessa 4

Il paradosso di Russell mostra che un assioma che si impone a noi come evidente (ogni predicato definisce un insieme) può essere contraddittorio. Se le intuizioni sugli insiemi si impongono ma conducono alla contraddizione, non garantiscono la verità.

un difensore risponde
Kurt Gödel difensore dell'argomento · 1964
Gödel risponde nello stesso testo che i paradossi della teoria degli insiemi non danneggiano la matematica più di quanto le illusioni dei sensi danneggino la fisica. Il paradosso colpiva una nozione ingenua di insieme; la nozione iterativa (gli insiemi costruiti per stadi) non porta ad alcuna contraddizione nota. I critici rispondono che ciò equivale ad ammettere che l'intuizione non dà la certezza fin dall'inizio.
A che punto è il dibattito (nostra sintesi)Russell: un'intuizione evidente può condurre alla contraddizione. Gödel: la si corregge con un'intuizione migliore. Disaccordo di fondo: una fonte che sbaglia può fondare la certezza?
P
Penelope Maddy 1990 · attacca la premessa 3

In Realism in Mathematics (1990) Maddy ha difeso una versione naturalizzata dell'intuizione: percepiremmo insiemi di oggetti fisici (tre uova in una scatola), e l'intuizione degli insiemi si spiegherebbe con il cervello, non con una facoltà speciale. In Naturalism in Mathematics (1997) abbandona questo realismo: sono gli scopi e la pratica dei matematici, e non un'intuizione, a giustificare gli assiomi.

senza risposta
Nessuna risposta possibile: obiezione formulata nel 1990, dopo la morte dell'autore (1978).
A che punto è il dibattito (nostra sintesi)Maddy: l'intuizione di Gödel va sostituita da una base naturale, e poi dalla pratica. Disaccordo di fondo: che cosa giustifica un assioma, una percezione o la sua utilità?